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HÁBLAME CON GRACIA DE LÓGICA Y MATEMÁTICA Dr. José Antonio Fernández Bravo Centro universitario de Enseñanza Superior “Don Bosco” Madrid (ESPAÑA) 1 EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICOLas orientaciones al hacer matemático han sido siempre claras y precisas. La metodología expresada por Ley en el sistema educativo español, afirma que el origen del conocimiento lógico-matemático está en la actuación del niño con los objetos y, más concretamente, en las relaciones que a partir de esta actividad establece con ellos. Por esto, la aproximación a los contenidos de la forma de representación matemática debe basarse en un enfoque que conceda prioridad a la actividad práctica; al descubrimiento de las propiedades y las relaciones que establece entre los objetos a través de su experimentación activa. El desarrollo de cuatro capacidades favorece el pensamiento lógico-matemático: n La observación: Se debe potenciar sin imponer la atención del niño a lo que el adulto quiere que mire. La observación se canalizará libremente y respetando la acción del sujeto, mediante juegos cuidadosamente dirigidos a la percepción de propiedades y a la relación entre ellas. Esta capacidad de observación se ve aumentada cuando se actúa con gusto y tranquilidad y se ve disminuida cuando existe tensión en el sujeto que realiza la actividad. Según Krivenko, hay que tener presentes tres factores que intervienen de forma directa en el desarrollo de la atención: El factor tiempo, el factor cantidad y el factor diversidad. n La imaginación. Entendida como acción creativa, se potencia con actividades que permiten una pluralidad de alternativas en la acción del sujeto. Ayuda al aprendizaje matemático por la variabilidad de situaciones a las que se transfiere una misma interpretación. n La intuición: Las actividades dirigidas al desarrollo de la intuición no deben provocar técnicas adivinatorias; el decir por decir no desarrolla pensamiento alguno. La arbitrariedad no forma parte de la actuación lógica. El sujeto intuye cuando llega a la verdad sin necesidad de razonamiento. Cierto esto, no significa que se acepte como verdad todo lo que se le ocurra al niño, sino conseguir que se le ocurra todo aquello que se acepta como verdad. n El razonamiento lógico: El razonamiento es la forma del pensamiento mediante la cual, partiendo de uno o varios juicios verdaderos, denominados premisas, llegamos a una conclusión conforme a ciertas reglas de inferencia. Para Bertrand Russell la lógica y la matemática están tan ligadas que afirma: "la lógica es la juventud de la matemática y la matemática la madurez de la lógica". La referencia al razonamiento lógico se hace desde la dimensión intelectual que es capaz de generar ideas en la estrategia de actuación, ante un determinado desafío. El desarrollo del pensamiento es resultado de la influencia que ejerce en el sujeto la actividad escolar y familiar. Con estos cuatro factores hay que relacionar cuatro elementos que, para Vergnaud, ayudan en la conceptualización matemática: n Relación material con los objetos. n Relación con los conjuntos de objetos. n Medición de los conjuntos en tanto al número de elementos n Representación del número a través de un nombre con el que se identifica. 2 SÍMBOLO FRENTE A CONCEPTOQue el cálculo sea el instrumento de la matemática, nadie lo pone en duda; que la matemática sea en sí misma cálculo es totalmente discutible. En modo alguno se está diciendo que el cálculo no sea importante; más bien, que el cálculo es ese utensilio que se elige cuando se sabe qué hacer y qué conseguir con él. Reconocer una situación matemática con claridad, en la que se necesite llegar a un resultado, y elegir convenientemente el procedimiento que me permita llegar a conclusiones lógicas, pertenece, a mi juicio, al hacer matemático. Luego, de ser así, a éste hacer matemático no le describe el procedimiento, sino el reconocimiento, la elección y el razonamiento. Ideas comprendidas, en suma, frente a formas de operar vacías de actividad rentable. Aún a pesar de estar totalmente admitido que la matemática es una actividad mental, seguimos imponiendo ese dogma prescriptivo del ejercicio aburrido en función de terminar un programa, vistiéndola con ese atavío de ojos tristes y alejándola, entonces, de esa elegancia discreta que la caracteriza y que, quizás, no sepamos trasmitir. Los profesores se quejan de en clase de matemáticas sus alumnos no piensan. En dispensa de otras, menores, creo que son dos las causas principales que pueden explicar este fenómeno. Bien puede ser que las matemáticas no enseñen a pensar, y hayamos sido todos víctimas del mayor fraude que nos ha legado la historia de la ciencia, o, admitiendo que las matemáticas desarrollan y estimulan el pensamiento, entonces, es posible que lo que se haga en clase sea cualquier cosa menos matemáticas. Actualmente existe un claro rechazo al aprendizaje de la matemática. Incluso, son muchos los profesores, sobre todo en Educación Infantil y Educación Primaria, que huyen, de alguna forma, de su enseñanza. Sus recuerdos hacia la matemática, como ellos dicen, no son agradables. Yo les pregunto: ¿por qué?, ¿te ha pegado alguna vez el número siete?, ¿Te ha arañado alguna vez el signo menos?, ¿Te has hecho daño al caerte de una raíz cúbica de ocho metros de altura?, ... No, me dicen sonriendo. No, no, no, no es que tengan un mal recuerdo de la matemática, de lo que realmente tienen un mal recuerdo es de su enseñanza, de la tensión que generaba una persona, que con un carné de profesor ignoraba como actividades prioritarias: la duda, la investigación, la comprobación del error, la discusión de las ideas, las alternativas que probasen o refutasen, la participación como búsqueda de conocimiento, la necesidad de inventar una expresión convencional, la conducción del pensamiento erróneo mediante preguntas que a modo de retos canalizasen las conclusiones, la utilización de ejemplos y contraejemplos, la comprensión de las ideas generadoras de nuevas relaciones, el descubrimiento de distintos teoremas, la necesidad de identificarlos y ponerles un nombre, la utilización de materiales y recursos,... Todo esto no se hace habitualmente, simplemente se cambia, con la dudosa explicación ante la sociedad de que no hay tiempo, por cómodas acciones que subrayan como único protagonista al profesor de la asignatura, “de esta forma”: “de esta forma se representa..., de esta forma se calcula..., de esta forma se expresa..., de esta forma... El pensamiento matemático hay que entenderlo desde tres categorías básicas: n Capacidad para generar ideas cuya expresión e interpretación sobre lo que se concluya sea: verdad para todos o mentira para todos. n Utilización de la representación o conjunto de representaciones con las que el lenguaje matemático hace referencia a esas ideas. n Comprender el entorno que nos rodea, con mayor profundidad, mediante la aplicación de los conceptos aprendidos. Sobre estas indicaciones cabe advertir la importancia del orden en el que se han expuesto. Obsérvese que, en muchas ocasiones, se suele confundir la idea matemática con la representación de esa idea. Se le ofrece al niño, en primer lugar, el símbolo, dibujo, signo o representación cualquiera sobre el concepto en cuestión, haciendo que el sujeto intente comprender el significado de lo que se ha representado. Estas experiencias son perturbadoras para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático. Se ha demostrado suficientemente que el símbolo o el nombre convencional es el punto de llegada y no el punto de partida, por lo que, en primer lugar, se debe trabajar sobre la comprensión del concepto, propiedades y relaciones. Otra cuestión importante sobre la formación del conocimiento matemático es la necesaria distinción entre: la representación del concepto y la interpretación de éste a través de su representación. Se suele creer que cuantos más símbolos matemáticos reconozca el niño más sabe sobre matemáticas Esto se aleja mucho de la realidad porque se suele enseñar la forma; así, por ejemplo, escuchamos: “El dos es un patito” o “La culebra es una curva” o… Tales expresiones pueden implicar el reconocimiento de una forma con un nombre, por asociación entre distintas experiencias del niño, pero en ningún modo contribuye al desarrollo del pensamiento matemático, debido a que miente sobre el contenido intelectual al que se refiere, por ejemplo, el concepto dos: Nunca designa a UN “patito”. En resumen, lo que favorece la formación del conocimiento lógico-matemático es la capacidad de interpretación matemática, y no la cantidad de símbolos que es capaz de recordar por asociación de formas. 3 PRINCIPIOS METODOLÓGICOS E INTERVENCIÓN EDUCATIVAQue el alumno sea el constructor de sus propios aprendizajes, se ha dicho de mil formas diferentes durante diferentes miles de años. Yo creo en ello. No por oídas, sino por lo que la experiencia me ha dictado y me dicta. Por lo que no tengo inconveniente en afirmar que de otro modo el aprendizaje se verá desnaturalizado, aportando al alumno un contenido, que no un conocimiento. Ya he dicho en otras ocasiones, que contenido es lo que se enseña y conocimiento es lo que se aprende. Otra tesis en la que apoyo mi intervención como didacta de la matemática es el cambio de: “Enunciar, memorizar, comprender” por “Comprender, enunciar, memorizar”. Me explico: Habitualmente se empieza por el enunciado de los conceptos, las relaciones o su representación convencional, como segundo paso se hace que se retenga en la memoria y, finalmente, se realizan ejercicios para su comprensión. Este de orden de presentación de la enseñanza de la matemática nunca me dio buenos resultados. Cambie, entonces. En primer lugar, elaboré actividades que mediante ejemplos y contraejemplos y sin corregir en modo alguno el pensamiento del alumno le ayudasen a generar ideas, a comprender el concepto identificado siempre desde su propio lenguaje. Posteriormente enunciaba correctamente el nombre o expresión convencional de aquello que habían comprendido. Por último trabajaba en su memorización. Claro está que la memoria es importante. Pero para evitar esfuerzos innecesarios conviene que memoricen cómo se llama aquello que saben qué es. Es necesario, por tanto, como primera actividad, partir en todo momento del vocabulario del alumno. En la construcción del conocimiento científico se hace distinción entre metalenguaje y lenguaje objeto. El lenguaje objeto es el propio de la ciencia en cuestión y el metalenguaje es ese lenguaje que utiliza para describir los términos pertenecientes al lenguaje objeto. Después, muchos términos del lenguaje objeto se pueden ir explicando a través de otros términos de ese lenguaje objeto. Cierto esto, el metalenguaje del aula para la construcción del conocimiento es el propio del alumno. Posteriormente, identificaremos un término matemático a partir de su lenguaje. Llegará un momento, dependiendo de la edad, que en el vocabulario del alumno podamos encontrar ya varios términos del lenguaje objeto que utiliza la matemática, definiendo, entonces, otros a partir de éstos. En definitiva creo que hablamos demasiado y demasiado mal, cuando lo que hay que intentar es evitar en la medida de lo posible la información verbal, y enunciar con la precisión que caracteriza a la matemática cuando tengamos que hacerlo. Si observamos la ambigüedad de expresión que existe actualmente en los libros de texto dirigidos principalmente a los escolares de infantil y primaria, nos preguntamos cómo pueden tener con esos materiales un pensamiento lógico, y si éste no existe cómo pueden acceder a un pensamiento matemático. FALTAN DIDACTAS Y SOBRAN INTERPRETES DE LIBROS DE TEXTO. Generalmente se ha aceptado que el aprendizaje de la matemática se refería al número y a la cantidad, apoyadas principalmente sus actividades en el orden y la seriación, siendo el contar el trabajo más preciado para la actividad matemática. Hoy la naturaleza de la enseñanza de la matemática se muestra diferente: como expresión, como un nuevo lenguaje y un nuevo modo de pensar con sus aplicaciones prácticas a su entorno circundante, mediante la discusión de las ideas. Aunque la asociación matemática y número suele ser habitual, se hace necesario indicar que no siempre que aparece la matemática se refiere al número, del mismo modo que el hecho de utilizar números nada puede decir del hacer matemático, si este hacer no ha sido generado por una acción lógica del pensamiento. El desarrollo del pensamiento lógico-matemático se puede recorrer didácticamente: a) Estableciendo relaciones, clasificaciones y mediciones. b) Ayudando en la elaboración de las nociones espacio-temporales, forma, número, estructuras lógicas, cuya adquisición es indispensable para el desarrollo de la matemática. c) Impulsando a los alumnos a averiguar cosas, a observar, a experimentar, a interpretar hechos, a aplicar sus conocimientos a nuevas situaciones o problemas d) Desarrollando el gusto por una actividad del pensamiento a la que irá llamando matemática. e) Despertando la curiosidad por comprender un nuevo modo de expresión. f) Guiando en el descubrimiento mediante la investigación que le impulse a la creatividad. g) Proporcionando técnicas y conceptos matemáticos sin desnaturalización y en su auténtica ortodoxia. Los procedimientos que se utilicen para la consecución de los objetivos presentados anteriormente serán válidos en tanto se apoyen, en un principio, lo más posible en la experimentación, obteniendo como resultado experiencias fructíferas que aseguren la fiabilidad del conocimiento lógico y matemático. Con razón escribía el profesor Pedro Puig Adam, matemático y didacta español: “Si abstraer es prescindir de algo, debe existir ese algo del que se pueda prescindir” Apoyamos la enseñanza de la matemática en lo que el profesor sabe, cuando deberíamos apoyarla en lo que el alumno desconoce. Damos por hecho que la simple información verbal de una situación clara para el docente, trasmite a la mente del alumno, con la misma claridad, lo que nosotros sobre ello comprendemos; y eso, mucho de aleja de la auténtica comprensión del concepto por la observación y experimentación de diversidad de situaciones en la que éste puede aparecer. Esto supone que muchos escolares reconozcan el concepto o la relación sólo cuando se le presenta de la misma forma como se le ha presentado para su aprendizaje. No puede reconocerlo en otras diferentes situaciones, no es funcional su aprendizaje, la aplicación del concepto se apoya en el azar y la adivinación y, es nula la transferencia de estos contenidos a otros nuevos para la construcción del conocimiento. Es necesario que el profesor sustituya la información verbal que dirige a sus alumnos por dudas, retos y desafíos mediante acertadas actividades, que cuidadosamente preparadas, permitan adquirir lo que se esta trabajando con la solidez que como contenido matemático le caracteriza. Si el profesor dice: “esto es una recta”, también está diciendo a la lógica interpretación del alumno que todo lo que no sea esto, no se puede reconocer como recta. Y así actuamos los profesores diciendo: De esta forma se suma, de esta forma se resta, de esta forma se calcula el área de..., de esta forma se multiplican polinomios, de esta forma..., de esta forma..., de esta forma... Y cuando a un alumno le pides que justifique con argumentación sus formas de hacer, no cabe otra que: “Así me lo enseñaron” o “ El profe así me lo dijo” o “Eso no lo hemos visto en clase”. ¿Por qué no cambiar estas criticadas expresiones de nuestros alumnos? ¿Podríamos cambiar: “Ipse dixit” por “I can see it”?
Actualmente, se habla de propuesta didáctica cuando se presenta la posibilidad de adquirir conocimiento mediante el diálogo y la discusión de las ideas. Está totalmente admitido que una de las funciones de la enseñanza de la matemática consiste en aprender a pensar; no es extraño, sin embargo, escuchar que los alumnos no piensan en clase de matemáticas. Ciertas estas dos premisas podemos deducir o, que es falso que el aprendizaje de esta ciencia enseñe a pensar o, que lo que se aprende no es matemática. Disyunción que nos obliga a expresar lo que creemos sobre el hacer matemático: El desarrollo de la observación, de la intuición, de la imaginación creativa y del razonamiento lógico, contribuye a ello: Mediante la observación podemos extender la mirada para llegar a ver; la intuición nos proporciona el surgimiento de un camino para indagar los argumentos de la cuestión planteada; la creatividad compone nuevas estructuras de opción proponiendo alternativas; y, el razonamiento lógico, se encarga de estudiar la verdad o falsedad de los juicios a los que hemos llegado. Cuando Wittgenstein (1987) afirma que, “No existen símbolos matemáticos sino una interpretación matemática de los símbolos”, reconoce la necesidad de subordinar la identificación, a la deducción. Identificar un símbolo es asociar; deducir es construir. Suele ser habitual confundir el significado del concepto con la representación de éste, mostrando únicamente en la enseñanza cómo se llaman las cosas sin preocuparnos de lo que realmente significan. Cada vez más en las aclaraciones curriculares sobre la enseñanza de la matemática se advierte una clara llamada de atención al aprendizaje significativo. Este carácter de significado con el que se dirigen actualmente los procedimientos didácticos, aunque condición necesaria, no es suficiente sin un carácter de sentido que intente mejorar: la capacidad para razonar, el pensamiento crítico y la conciencia reflexiva. La asociación Nacional de Educación, en una declaración de 1961 titulada El objetivo central de la educación norteamericana, expone: “El objetivo que dirige y fortalece a todos los otros objetivos de la educación -el hilo común de la educación- es el desarrollo de la capacidad para pensar” (Mayer, 1986) La existencia del pensamiento pertenece, todavía hoy, a un proceso mágico. Sin embargo, la asistencia al pensamiento se recoge, por la posibilidad de contrastar las ideas, en un proceso científico. La enseñanza debe permitir que el sujeto llegue a la adquisición de los conceptos por sus propios hallazgos. Su terminología específica y la simbología pertinente deben ser el punto de llegada en la construcción del conocimiento, y no el punto de partida. Enunciar el concepto es posterior a la comprensión de éste, porque creemos, al igual que Heidegger (1951), que: “El enunciado es la articulación de lo que se ha comprendido” Estas indicaciones, tan reconocidas en la teoría como escasas en la práctica, señalan unos procedimientos a la vez que anulan otros. Se espera, que la pregunta reine de modo supremo en la expresión del profesor, pero las preguntas preestablecidas para respuestas preestablecidas no forman parte del desarrollo de la actividad intelectual. Que todo desafío implique una pregunta, no hace suponer que toda pregunta implique un desafío, porque éste aspira a provocar en el sujeto un estado de indagación cuyo resultado añada algo a lo que ya sabía. Los retos, los ejemplos y contraejemplos son los alimentos de los que se nutre la interacción profesor-alumno. Se puede partir, entonces, de las experiencias y conocimientos previos de los que aprenden, que tienen la oportunidad de jugar con las respuestas antes de escoger una de ellas; acción que resuelve con frecuencia, el grave problema para el aprendizaje que supone la falta de ideas, junto con la privación de autonomía, perseverancia y flexibilidad. 4 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASCOCKCROFT, W.H. (1985): Las matemáticas sí cuentan. Madrid. MEC. DEWEY, J. (1998): Democracia y Educación. Madrid. Morata (Ed Original, 1916) HEIDEGGER, M. (1951): El ser y el tiempo. México. FCE LE LIONNAIS, F. (1962): Las grandes corrientes del pensamiento matemático. Buenos Aires. Editorial Universitaria. MAYER RICHARD, E. (1986): Pensamiento, resolución de problemas y cognición. Barcelona. Paidós. PIAGET, J., G. CHOQUET, y otros (1978): La enseñanza de las matemáticas modernas. Madrid. Alianza Editorial. PUIG ADAM, P. (1956): Didáctica. Matemática. Eurística. Madrid. Institución de Enseñanza Laboral. REY PASTOR, J. (1981): Elementos de Análisis Algebraico. Madrid. Biblioteca Matemática RUSSELL, B. (1985): Escritos básicos I. Barcelona. Planeta-Agostini VAN DALEN, D.B. y W.J. MEYER (1983): Manual de técnica de la investigación educacional. Buenos Aires. Paidós. WITTGENSTEIN, L. (1987): Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. Madrid. Alianza Editorial. 5 BIBLIOGRAFÍA DEL AUTOR"LIBROS"
“CUENTOS” Colección de cuentos que trabajan conceptos lógicos y matemáticos - El Hipopótamo gracioso y fuerte. Ed. CCS. Madrid, 2002 - La tortuga botarruga. Ed. CCS. Madrid, 2002 - Los animales que se escaparon del circo. Ed. CCS. Madrid, 2002 - Las nubes del país de la fantasía virtual. Ed. CCS. Madrid, 2002 - Cuánto cuento canto. (I) Ed. CCS. Madrid, 2003 - Cuánto cuento canto. (II) Ed. CCS. Madrid, 2003 - Si te quieren serás lo que eres. Ed. CCS. Madrid, 2003 "ARTÍCULOS"
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